출처 BOJ

순열사이클

문제

1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.
4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.
백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.
각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)
입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이 때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어져 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 “Goldbach’s conjecture is wrong.”을 출력한다.

예제

범위체크

$10^{6}$아래 값들만 사용하기 때문에 $\le INT$

풀이

n아래까지 소수를 모두 구한 후, 두 소수의 합이 n인 경우 찾기
소수구하는 법 = 에라토스테네스의 체 사용($\sqrt{n}$까지 값들의 배수를 제하면 n이하의 소수만 남음)

• 시간을 줄이기 위해서는 구한 소수들을 다시 구하는 일은 없게 할것!

  코드

  code

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAX 1000001
using namespace std;

int N;
int check[MAX];

void findPrime(int before){
	int len = sqrt(N)+1;
	for(int i=2; i<len; i++){
		int now = before/i;
		while(now*i <= N){
			if(now != 1)
				check[now*i] = 1;
			now++;
		}
	}
	check[1] = 1;
	check[2] = 1;
}


int main(){
	int testcase;
	int max = 0;
	while(1){
		scanf("%d",&N);

		if(N == 0)
			break;
		
		if(max < N){
			findPrime(max);
			max = N;
		}
		
		int flag = 1;
		for(int i=3; i<=N/2; i++){
			if(check[i] == 0 && check[N-i] == 0){
				flag = 0;
				printf("%d = %d + %d\n",N,i,N-i);
				break;
			}
		}

		if(flag)
			printf("Goldbach's conjecture is wrong.\n");

	}
}

복잡도

$O({n \over 2}\sqrt{n})$
k의 배수의 개수(n을 2(k)로 나눈 값이 가장 크기 때문에) x k가 될 수 있는 값의 개수